2023届全国普通高等学校招生统一考试 JY高三终极一考卷(一)文理 数学

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2023届全国普通高等学校招生统一考试 JY高三终极一考卷(一)文理 数学试卷答案

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13．求证：2sin²α•sin²β+2cos²α•cos²β=1+cos2α•cos2β．

分析由$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$可得$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow{b}$=|$\overrightarrow{a}$|•|$\overrightarrow{b}$|•cos90°=0．推出a₁b₁+a₂b₂=0；由a₁b₁+a₂b₂=0可得$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow{b}$=0，即$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$．

解答解：若$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$，则$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow{b}$=|$\overrightarrow{a}$|•|$\overrightarrow{b}$|•cos90°=0．即a₁b₁+a₂b₂=0，
若a₁b₁+a₂b₂=0，则$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow{b}$=a₁b₁+a₂b₂=0，
设$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$夹角为θ，则$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow{b}$=|$\overrightarrow{a}$|•|$\overrightarrow{b}$|•cosθ=0，
而|$\overrightarrow{a}$|≠0，|$\overrightarrow{b}$|≠0，∴cosθ=0，即θ=90°，
∴$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$．
故答案为：a₁b₁+a₂b₂．

点评本题考查了平面向量垂直的充要条件，是基础题．

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