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华师—附中 2023年普通高等学校招生全国统一考试 名校联盟·压轴卷(一)文理 数学试卷答案
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15．已知N（1，0），动点M满足$k+{（\overrightarrow{OM}）^2}=1+K{（\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}）^2}$，k∈R，其中O是坐标原点，
（1）求动点M的轨迹方程，并判断曲线类型；
（2）如果动点M的轨迹是一条圆锥曲线，其离心率e满足$\frac{{\sqrt{3}}}{3}≤e≤\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，求实数k的取值范围．
分析根据条件得到y+z=-x，y2+z2=1-x2，再根据柯西不等式（1•y+1•z）2≤（1+1）•（y2+z2），求出x的取值范围，进而得到最大值．
解答解：因为，x、y、z满足x+y+z=0，x2+y2+z2=1，
所以，y+z=-x，y2+z2=1-x2，
根据二维形式的柯西不等式得，
（1•y+1•z）2≤（1+1）•（y2+z2），
即（-x）2≤2（1-x2），
整理得，3x2≤2，
解得x∈[-$\frac{\sqrt{6}}{3}$，$\frac{\sqrt{6}}{3}$]，
因此，x的最大值为$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
故答案为：$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
点评本题主要考查了柯西不等式在求最值问题中的应用，体现了构造与整体的解题思想，属于中档题．
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