万友2022-2023学年下学期2023年中考定准卷文理 数学

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万友2022-2023学年下学期2023年中考定准卷文理 数学试卷答案

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14．在平面直角坐标系中，已知点M（0，-1），N（0，1），动点P满足PM=$\sqrt{2}$PN．
（1）求点P的轨迹C₁的方程，并说明是什么曲线
（2）二次函数f（x）=x²+2x-3的图象与两坐标轴交于三点，过这三点的圆记为C₂，求证C₁、C₂有两个公共点，并求出这两个公共点间距离．

分析作出示意图，寻找$|{\vecb-t\veca}|$在何时取得最小值，计算出向量$\veca$与向量$\vecb$的夹角及|$\overrightarrow{a}$|，由$（{\vecc-\vecb}）⊥（{\vecc-\veca}）$可知$\vecc$的终点在一个圆周上，结合图象，找出当$\vecc•（{\veca+\vecb}）$取最大值时C的位置，进行几何计算即可求出．

解答解：设$\overrightarrow{a}$=$\overrightarrow{MA}$，$\overrightarrow{b}$=$\overrightarrow{MB}$，$\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow{MC}$，如图：
∵向量$\veca$，$\vecb$的夹角为钝角，
∴当$\veca$与$\vecb-t\veca$垂直时，$|{\vecb-t\veca}|$取最小值$\sqrt{3}$，即$\veca⊥（{\vecb+\frac{1}{2}\veca}）$．
过点B作BD⊥AM交AM延长线于D，则BD=$\sqrt{3}$，
∵|$\overrightarrow{b}$|=MB=2，∴MD=1，∠AMB=120°，即$\veca$与$\vecb$夹角为120°．
∵$\veca⊥（{\vecb+\frac{1}{2}\veca}）$，∴$\overrightarrow{a}•$（$\overrightarrow{b}+\frac{1}{2}\overrightarrow{a}$）=0，
∴|$\overrightarrow{a}$|•|$\overrightarrow{b}$|•cos120°+$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$|²=0，
∴|$\overrightarrow{a}$|=2，即MA=2，
∵$（{\vecc-\veca}）⊥（{\vecc-\vecb}）$，∴$\vecc$的终点C在以AB为直径的圆O上，
∵O是AB中点，∴$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$=2$\overrightarrow{MO}$，
∴当M，O，C三点共线时，$\vecc•（{\veca+\vecb}）$取最大值，
∵AB=$\sqrt{A{D}^{2}+B{D}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，∴OB=0C=$\frac{1}{2}AB$=$\sqrt{3}$，
∵MA=MB=2，O是AB中点，∴MO⊥AB，
∴∠BOC=∠MOA=90°，
∴|$\overrightarrow{c}-\overrightarrow{b}$|=BC=$\sqrt{2}$OB=$\sqrt{6}$．
故选：A．

点评本题考查了平面向量在几何中的应用，根据题目作出符合条件的图形是关键．

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