河南省2022-2023九年级上学期第二次学情诊断(期中)数学

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河南省2022-2023九年级上学期第二次学情诊断(期中)数学试卷答案

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4．集合A={x|9^x+p•3^x+q=0，x∈R}，B={x|q•9^x+p•3^x+1=0，x∈R}，且实数pq≠0
（1）证明：若x₀∈A，则-x₀∈B；
（2）是否存在实数p，q满足A∩B≠∅且A∩C_RB={1}？若存在，求出p，q的值，不存在说明理由．

分析（1）使用二倍角公式将函数化为f（x）=sin2x-cos2x=$\sqrt{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$），代入周期公式计算；
（2）由（1）的化简结果可知f（x）最小值为-$\sqrt{2}$，令2x-$\frac{π}{4}$=$-\frac{π}{2}$+2kπ解出f（x）取最小值时x的集合；
（3）令$-\frac{π}{2}$+2kπ≤2x-$\frac{π}{4}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，解出f（x）的单调递增区间．

解答解：（1）f（x）=2sinxcosx+cos²x-sin²x=sin2x-cos2x=$\sqrt{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$），
∴f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}$=π．
（2）令2x-$\frac{π}{4}$=$-\frac{π}{2}$+2kπ，解得x=-$\frac{π}{8}$+kπ，k∈Z．
∴f（x）的最小值是$-\sqrt{2}$，f（x）取最小值时x的集合为{x|x=-$\frac{π}{8}$+kπ，k∈Z}．
（3）令$-\frac{π}{2}$+2kπ≤2x-$\frac{π}{4}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，解得-$\frac{π}{8}$+kπ≤x≤$\frac{3π}{8}$+kπ，k∈Z．
∴f（x）的单调递增区间是[-$\frac{π}{8}$+kπ，$\frac{3π}{8}$+kπ]，k∈Z．

点评本题考查了三角函数的图象与性质，是基础题．

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