2022年4月湖湘教育三新探索协作体高二期中联考数学部分

1、
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一个袋中装有四个形状大小完全相同的球,球的编号分别为1,2,3,4.

(1)从袋中随机取出两个球,求取出的球的编号之和不大于4的概率.

(2)先从袋中随机取一个球,该球的编号为m,将球放回袋中,然后再从袋中随机取一个球,该球的编号为n,求n<m+2的概率.

2、

（1）；（2）．

【解析】试题分析：

（1）从袋中随机抽取两个球，可能的结果有6种，而取出的球的编号之和不大于4的事件有两个，1和2，1和3，两种情况，求比值得到结果．

（2）有放回的取球，根据分步计数原理可知有16种结果，满足条件的比较多不好列举，可以首先考虑它的对立事件再来计算它的概率．

试题解析：

（1）从袋子中随机取两个球，其一切可能的结果组成的基本事件有1和2,1和3,1和4,2和3,2和4,3和4，共6个，从袋中随机取出的球的编号之和不大于4的事件共有1和2,1和3两个．

因此所求事件的概率为.

（2）先从袋中随机取一个球，记下编号为m，放回后，在从袋中随机取一个球，记下编号为n，其中一切可能的结果（m，n）有：（1,1）（1,2），（1,3），（1,4），（2,1），（2,2），（2,3），（2,4），（3,1）（3， 2），（3,3）（3,4），（4,1），（4,2），（4,3），（4,4），共16个．

所有满足条件n≥m＋2的事件为（1,3）（1,4）（2,4），共3个，

所以满足条件n≥m＋2的事件的概率为P1＝.

故满足条件n＜m＋2的事件的概率为1－P1＝1－＝.

3、
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已知圆C经过P（4，-2），Q（-1，3）两点，且圆心在x轴上。

（1）求直线PQ的方程；

（2）圆C的方程；

（3）若直线l∥PQ，且l与圆C交于点A，B，且以线段AB为直径的圆经过坐标原点，求直线l的方程。

4、

（1）；（2）；（3）或

【解析】试题分析：（1）根据直线方程的点斜式求解所求的直线方程（2）根据待定系数法设出圆心坐标和半径，寻找未知数之间的关系是求圆的方程的关键，注意弦长问题的处理方法；
（3）利用直线的平行关系设出直线的方程，利用设而不求的思想得到关于所求直线方程中未知数的方程，通过方程思想确定出所求的方程，注意对所求的结果进行验证和取舍．

试题解析：

（1）直线PQ的方程为x+y-2=0。

（2）C在PQ的中垂线 即 设 由题意有或 （舍去），或（舍去）∴圆C的方程为（x-1）2+y2=13．

（3）设直线l的方程为y=-x+m，A（x1，m-x1），B（x2，m-x2），

由题意可知OA⊥OB，即·=0，

所以x1x2+（m-x1）（m-x2）=0，

化简得2x1x2-m（x1+x2）+m2=0。（*）

由得2x2-2（m+1）x+m2-12=0，

所以x1+x2=m+1，x1x2=。

代入（*）式，得m2-12-m·（m+1）+m2=0，

所以m=4或m=-3，经检验都满足判别式>0，

所以直线l的方程为x+y-4=0或x+y+3=0。