名校之约2023届高三新高考考前模拟卷(五)5文理 数学

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名校之约2023届高三新高考考前模拟卷(五)5文理 数学试卷答案

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14．设连续函数f（x）的定义域为R，已知，若函数f（x）无零点，则f（x）＞0或f（x）＜0恒成立．
（1）用反证法证明：“若存在实数x₀，使得f（f（x₀））=x₀，则至少存在一个实数a，使得f（a）=a”；
（2）若f（x）=e^x-$\frac{1}{{e}^{x}}$+x²-2cosx-mx-2，有且仅有一个实数x₀，使得f（f（x₀））=x₀，求实数m的取值范围．

分析（1）不等式等价于|x|+|x-2|≤2，再利用绝对值的意义求得x的范围．
（2）由条件利用基本不等式证得结论成立．

解答解：（1）函数f（x）=|x|，∴f（x-2）=|x-2|，不等式f（x-2）≤2-f（x），
等价于|x-2|≤2-|x|，即|x|+|x-2|≤2．
|x|+|x-2|表示数轴上的x对应点到0、2的距离之和，它的最小值为2，此时，0≤x≤2，
故不等式f（x-2）≤2-f（x）的解集为[0，2]．
（2）证明：$f（{\frac{1}{x}-1}）+f（{x+1}）=|{\frac{1}{x}-1}|+|{x+1}|≥|{\frac{1}{x}+x}|=\frac{1}{|x|}+|x|≥2\sqrt{|x|•|{\frac{1}{x}}|}=2$，即$f（{\frac{1}{x}-1}）+f（{x+1}）≥2$成立，
当且仅当x=±1时等号成立．

点评本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，基本不等式的应用，属于中档题．

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