衡水金卷先享题信息卷2023届全国乙卷A 二文理 数学

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衡水金卷先享题信息卷2023届全国乙卷A 二文理 数学试卷答案

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19．已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中的棱长为8，点H在棱AA₁上，且HA₁=2，点E、F分别为棱B₁C₁、C₁C的中点，P是侧面BCC₁B₁内一动点，且满足PE⊥PF，则当点P运动时，HP²的最小值是（　　）

分析本题可从函数的单调性入手，观察函数解析式，此函数是一个减函数，再根据f（a）f（b）f（c）＜0对三个函数值的符号的可能情况进行判断，得出结论．

解答因为f（x）=（$\frac{1}{3}$）^x-log₂^x，在定义域上是减函数，
∴0＜a＜b＜c时，f（a）＞f（b）＞f（c）
又因为f（a）f（b）f（c）＜0，
所以一种情况是f（a），f（b），f（c）都为负值，①，
另一种情况是f（a）＞0，f（b）＞0，f（c）＜0．②
对于①要求a，b，c都大于d，
对于②要求a，b都小于d是，c大于d．
两种情况综合可得d＞c不可能成立
故答案为：①②③．

点评对数函数的单调性与特殊点；指数函数的单调性与特殊点；不等式比较大小．

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