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安徽省九年级2022-2023学年新课标闯关卷（十三）AH文理 数学试卷答案
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9．在f（x）=$\frac{1}{1+{x}^{a-b}+{x}^{a-c}}$+$\frac{1}{1+{x}^{b-c}+{x}^{b-a}}$+$\frac{1}{1+{x}^{c-a}+{x}^{c-b}}$中，取x≠0的一些特殊的值，均有f（x）=1，一般地，x≠0时，是否恒有f（x）=1？证明你的结论．
分析（1）利用向量的数量积公式，结合二倍角公式，化简函数，再求f（x）的最小正周期；
（2）当x∈[0，$\frac{π}{2}$]时，2x+$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{4π}{3}$]，即可求f（x）的值域．
解答解：（1）∵$\overrightarrow{a}$=（sinx，cosx），$\overrightarrow{b}$=（cosx-$\sqrt{3}$sinx，2cos（x-$\frac{π}{6}$）），
∴f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=sinx（cosx-$\sqrt{3}$sinx）+cosx•2cos（x-$\frac{π}{6}$）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$），
∴T=$\frac{2π}{2}$=π；
（2）∵x∈[0，$\frac{π}{2}$]，
∴2x+$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{4π}{3}$]，
∴2sin（2x+$\frac{π}{3}$）∈[-$\sqrt{3}$，2]，
∴f（x）的值域为[-$\sqrt{3}$，2]．
点评此题考查了二倍角的正弦、余弦函数公式，两角和与差的正弦函数公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握公式是解本题的关键．
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