开卷文化 2023普通高等学校招生全国统一考试 冲刺卷(二)2文理 数学

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开卷文化 2023普通高等学校招生全国统一考试 冲刺卷(二)2文理 数学试卷答案

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12．已知函数f（x）=alnx+x²（a为实常数）
（1）当x∈[1，e]时，讨论方程f（x）=0的根的个数；
（2）若a＞0，且对任意的x₁，x₂∈（0，$\frac{1}{2}$]，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤|$\frac{1}{{x}_{1}}$-$\frac{1}{{x}_{2}}$|，求实数a的取值范围．

分析过M做平面PBC的垂线，交平面PBC于Q，连接PQ，由公式：cos∠MPB=cos∠MPQ×cos∠QPB，得到cos∠QPB=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，从而可得cos∠QPC=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，再用公式：cos∠MPC=cos∠MPQ×cos∠QPC，即可求∠MPC．

解答解：如图，过M做平面PBC的垂线，交平面PBC于Q，连接PQ．
∵∠APB=∠APC=90°，∴AP⊥平面PBC，
∵MQ⊥平面PBC，∴AP∥MQ，
∵∠MPA=60°，∴∠MPQ=90°-60°=30°．
由公式：cos∠MPB=cos∠MPQ×cos∠QPB，得到cos∠QPB=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
∵∠QPC是∠QPB的余角，∴cos∠QPC=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
再用公式：cos∠MPC=cos∠MPQ×cos∠QPC，得到cos∠MPC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∴∠MPC=45°．
故答案为：45°．

点评本题考查空间角，考查学生分析解决问题的能力，利用好公式是关键，是中档题．

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