2023年普通高校招生考试冲刺压轴卷XGK(一)1文理 数学

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2023年普通高校招生考试冲刺压轴卷XGK(一)1文理 数学试卷答案

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5．已知曲线C的极坐标方程是ρ=2sinθ+4cosθ．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=1+tcosa}\\{y=tsina}\end{array}\right.$（t为参数）
（1）写出曲线C的参数方程；
（2）若直线l与曲线C相交于A、B两点，且|AB|=2$\sqrt{3}$，求直线l的倾斜角a的值．

分析换元t=log₂x，求得0≤t≤1，化简g（x）即为h（t）=t²+4t+2，0≤t≤1，求出对称轴t=-2，可得h（t）在[0，1]为增函数，计算即可得到所求最值．

解答解：∵f（x）=1+log₂x（1≤x≤4），
∴$\left\{\begin{array}{l}{1≤x≤4}\\{1≤{x}^{2}≤4}\end{array}\right.$，即1≤x≤2，
∵f（x）=1+log₂x（1≤x≤4），
g（x）=f²（x）+f（x²）=（1+log₂x）²+1+2log₂x，
∴g（x）=（log₂x）²+4log₂x+2，1≤x≤2
设t=log₂x，则h（t）=t²+4t+2，0≤t≤1，
∵对称轴t=-2，h（t）在[0，1]为增函数，
则g（x）的最小值为h（0）=2，最大值为h（1）=7．

点评本题考查函数的最值的求法，注意运用换元法转化为二次函数求值域问题，注意自变量的范围，同时考查对数函数的单调性的运用，属于中档题和易错题．

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