安徽鼎尖教育2023届高二4月期中考试文理 数学

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安徽鼎尖教育2023届高二4月期中考试文理 数学试卷答案

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5．设函数f（x），g（x）的定义域分别为D_f，D_g，且D_f?D_g，若对于任意x∈D_f，都有g（x）=f（x），则称函数g（x）为f（x）在D_g上的一个延拓函数．设f（x）=2^x，x∈（-∞，0），g（x）为f（x）在R上的一个延拓函数．
（1）若g（x）是奇函数，则g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{2}^{-x}，x＞0}\\{0，x=0}\\{{2}^{x}，x＜0}\end{array}\right.$；
（2）若g（x）满足：①当x≥0，g（x）=$\frac{ax+b}{x+1}$；
②值域为（0，2）；
③对于任意的x₁，x₂∈R，且x₁≠x₂，都有$\frac{g（{x}_{1}）-g（{x}_{2}）}{{x}_{x}-{x}_{2}}$＞0，
则实数a，b的取值分别为2，1．

分析（1）先求出f（x）的表达式，通过讨论a的范围，得到f（x）的最小值的解析式，求出a的值即可；
（2）根据函数的单调性得到：[-2，+∞）⊆[2-a²，+∞），解出即可．

解答解：（1）f（x）=（x+1）²+（2a-2）（x+1）+3-2a=x²+2ax+2┉┉┉（2分）
当-a≤-5即：a≥5时，f（x）_min=f（-5）=27-10a=-1，
∴a=2.8，舍去．
当-5＜-a＜5 即-5＜a＜5时，f（x）_min=f（a）=-a²+2=-1，
∴a=±$\sqrt{3}$，
当-a≥5即a≤-5时，f（x）_min=f（5）=27+10a=-1，
∴a=-2.8，舍去．
综上：a=±$\sqrt{3}$┉┉┉（6分）
（2）g（x）=2x+$\sqrt{x+1}$在[-1，+∞）上单调递增，
∴g（x）∈[-2，+∞）．┉┉┉（8分）
在x∈R时，f（x）∈[2-a²，+∞），
由题意知：[-2，+∞）⊆[2-a²，+∞）．┉┉┉（11分）
∴2-a²≤-2，
∴a≤-2或a≥2．┉┉┉（12分）

点评本题考查了二次函数的性质，考查分类讨论思想，是一道中档题．

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