2022-23年度信息压轴卷(新)(四)文理 数学

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试题答案

2022-23年度信息压轴卷(新)(四)文理 数学试卷答案

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9.已知函数f(x)=|x|,
(1)解不等式f(x-2)≤2-f(x);
(2)证明:对任意实数x≠0,有$f({\frac{1}{x}-1})+f({x+1})≥2$.

分析根据条件先求得f(x)的解析式f(x)=$\left\{\begin{array}{l}{0,x∈(-1,1)}\\{-x,x∈(-∞,-1)∪(1,+∞)}\end{array}\right.$,再进行分类迭代求得f(f(x))的解析式.

解答解:因为$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{{x}^{n+1}}{1-x^n}$存在,所以x≠±1,
①当|x|<1时,$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{{x}^{n+1}}{1-x^n}$=$\frac{0}{1-0}$=0;
②当|x|>1时,$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{{x}^{n+1}}{1-x^n}$=$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{x}{\frac{1}{x^n}-1}$=$\frac{x}{0-1}$=-x(极限存在),
即f(x)=$\left\{\begin{array}{l}{0,x∈(-1,1)}\\{-x,x∈(-∞,-1)∪(1,+∞)}\end{array}\right.$,
因此,f(f(x))的解析式需分类讨论如下:
当x∈(-1,1)时,f(f(x))=f(0)=0,
当x∈(-∞,-1)∪(1,+∞)时,f(f(x))=f(-x)=x,
所以,y=f(f(x))=$\left\{\begin{array}{l}{0,x∈(-1,1)}\\{x,x∈(-∞,-1)∪(1,+∞)}\end{array}\right.$.
故答案为:$\left\{\begin{array}{l}{0,x∈(-1,1)}\\{x,x∈(-∞,-1)∪(1,+∞)}\end{array}\right.$.

点评本题主要考查了极限的运算,以及分段函数与复合函数解析式的求解,属于中档题.

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