2023届智慧上进·名校学术联盟·考前冲刺·精品预测卷(三)文理 数学

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2023届智慧上进·名校学术联盟·考前冲刺·精品预测卷(三)文理 数学试卷答案

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10．函数f（x）是定义在（0，+∞）上的单调函数，?x∈（0，+∞），f[f（x）-lnx]=e+1，则方程f（x）-f′（x）=e（其中e为自然对数的底数）的解所在的区间是（　　）

分析（I）由椭圆参数方程可得：1=a$cos\frac{π}{4}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$=b$sin\frac{π}{4}$，解得a，b．可得曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{2}cosα}\\{y=sinα}\end{array}\right.$，化为直角坐标方程，利用$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$即可化为极坐标方程．
（II）直线l的参数方程为：$\left\{\begin{array}{l}{x=1+tcosθ}\\{y=tsinθ}\end{array}\right.$（t为参数），代入曲线C的方程，利用根与系数的关系可得：|PA|•|PB|=-t₁t₂，进而得出．

解答解：（I）由曲线C的参数方程：$\left\{{\begin{array}{l}{x=acosα}\\{y=bsinα}\end{array}}$（α为参数），可得：1=a$cos\frac{π}{4}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$=b$sin\frac{π}{4}$，解得a=$\sqrt{2}$，b=1．
∴曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{2}cosα}\\{y=sinα}\end{array}\right.$，其直角坐标方程为：$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}$=1，可得ρ²cos²θ+2ρ²sin²θ=2．
（II）直线l的参数方程为：$\left\{\begin{array}{l}{x=1+tcosθ}\\{y=tsinθ}\end{array}\right.$（t为参数），代入曲线C的方程可得：（1+sin²θ）t²+2tcosθ-1=0，
∴|PA|•|PB|=-t₁t₂=$\frac{1}{1+si{n}^{2}θ}$∈[$\frac{1}{2}$，1]．

点评本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、椭圆的参数直角方程极坐标方程的互化及其应用、直线的参数方程的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

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