一、证明:不等式ex＞x+1＞lnx，x＞0.
解答如下:
证明:①令f(x)=ex-x-1，x＞0，
则f′(x)=ex-1＞0，∴f(x)在(0，+∞)上单调递增.
∴对任意x∈(0，+∞)，有f(x)＞f(0)，
而f(0)=e0-0-1=0，∴f(x)＞0，
即ex＞x+1.
②令g(x)=x+1-lnx，x＞0，
则g′(x)=1- =;
令g′(x)=0，得x=1，
当x变化时，g′(x)，g(x)的变化情况如下表:
x
(0，1)
1
(1，+∞)
g′(x)
–
0
+
g(x)
↘
2
↗
∴g(x)min=g(1)=2，即对任意x∈(0，+∞)有 g(x)≥g(1)＞0，
∴x+1＞lnx.
综上当x＞0时，有ex＞x+1＞lnx.
二、ex，x，lnx之间的大小比较
ex>x>lnx
显然ex>x,下证x>lnx。
对y=x-lnx求导，得y’=1-1/x。
x>1时，y‘>0；0<x<1时，y‘<0，所以在（0,1）递减；（1，+∞）递增。
所以y的最小值为1-ln1=1>0。最小值都大于零，那肯定在（0，+∞）上x始终大于lnx。
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