湘豫名校联考 2022-2023学年高二(下)6月阶段性考试文理 数学

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试题答案

湘豫名校联考 2022-2023学年高二(下)6月阶段性考试文理 数学试卷答案

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13.设函数f(x)=x2-1,对任意x∈[$\frac{3}{2}$,+∞),f($\frac{x}{m}$)-4m2f(x)≤f(x-1)+4f(m)恒成立,则实数m的取值范围是(  )

A. [-$\frac{\sqrt{3}}{2}$,$\frac{\sqrt{3}}{2}$] B. [$\frac{3}{2}$,+∞) C. (0,$\frac{3}{2}$] D. (-∞,-$\frac{\sqrt{3}}{2}$]∪[$\frac{\sqrt{3}}{2}$,+∞)

分析由正弦定理及三角形内角和定理化简可得sinA+sinC=3sin(A+C),根据和差化积公式及倍角公式可得cos$\frac{A}{2}$cos$\frac{C}{2}$+sin$\frac{A}{2}$sin$\frac{C}{2}$=3[cos$\frac{A}{2}$cos$\frac{C}{2}$-sin$\frac{A}{2}$sin$\frac{C}{2}$],两边同时除以cos$\frac{A}{2}$cos$\frac{C}{2}$,利用同角三角函数基本关系式即可求解.

解答解:由正弦定理知:a=sinA•2R,b=sinB•2R,c=sinC•2R,而a+c=3b,
即sinA•2R+sinC•2R=3sinB•2R,
∴sinA+sinC=3sinB=3sin(A+C),
∴根据和差化积公式及倍角公式可得:2sin$\frac{A+C}{2}$cos$\frac{A-C}{2}$=6sin$\frac{A+C}{2}$cos$\frac{A+C}{2}$,
∴cos$\frac{A-C}{2}$=3cos$\frac{A+C}{2}$,
∴cos$\frac{A}{2}$cos$\frac{C}{2}$+sin$\frac{A}{2}$sin$\frac{C}{2}$=3[cos$\frac{A}{2}$cos$\frac{C}{2}$-sin$\frac{A}{2}$sin$\frac{C}{2}$],
两边同时除以cos$\frac{A}{2}$cos$\frac{C}{2}$,得:1+tan$\frac{A}{2}$tan$\frac{C}{2}$=3[1-tan$\frac{A}{2}$tan$\frac{C}{2}$]
∴$tan\frac{A}{2}tan\frac{C}{2}$=$\frac{1}{2}$.
故选:C.

点评本题主要考查了正弦定理及三角形内角和定理,和差化积公式及倍角公式,同角三角函数基本关系式的应用,考查了转化思想和计算能力,属于中档题.

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