安徽省宿州市萧县2022-2023学年度第三次模考文理 数学

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安徽省宿州市萧县2022-2023学年度第三次模考文理 数学试卷答案

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12.尿素含氮量高,化学性质较稳定,是农业生产中一种非常重要的氮肥。土壤中有些细菌能够合成脲酶,催化尿素水解产生NH3,NH3可作为细菌生长的氮源。某生物兴趣小组欲从土壤中分离出分解尿素的细菌,下列相关操作正确的是()A.可用平板划线法或稀释涂布平板法对尿素分解菌进行计数B.以尿素为唯一碳源的培养基,可将土壤中的尿素分解菌筛选出来C.配置的培养基经高压蒸汽灭菌后通常还需要调节pH才能使用D.应设置牛肉膏蛋白胨培养基作为对照,用来验证选择培养基的选择作用

分析（1）求出函数的解析式和定义域，由求导公式和法则求出f′（x），由导数与函数单调性关系求出f（x）的单调区间；
（2）由条件分离出常数b，再构造函数g（x）=$\frac{2}{3}$x³-$\frac{1}{2}$x²-lnx，求出g′（x）后通过化简判断出符号，可得g（x）d的单调性以及值域，即可求出b的取值范围．

解答解：（1）由题意得，f（x）=$\frac{1}{2}$x²-lnx，
则f（x）的定义域是（0，+∞），$f′（x）=x-\frac{1}{x}$=$\frac{{x}^{2}-1}{x}$，
由f′（x）=0得x=±1，
当-1＜x＜1时，f′（x）＜0，当x＜-1或x＞1时，f′（x）＞0，
所以f（x）在（-1，1）上递减，在（-∞，-1），（1，+∞）上递增；
（2）由当x＞1时$\frac{1}{2}$x²+lnx+b＜$\frac{2}{3}$x³恒成立得，
当x＞1时，b＜$\frac{2}{3}$x³-$\frac{1}{2}$x²-lnx恒成立，
设g（x）=$\frac{2}{3}$x³-$\frac{1}{2}$x²-lnx，则g′（x）=2${x}^{2}-x-\frac{1}{x}$
=$\frac{2{x}^{3}-{x}^{2}-1}{x}$=$\frac{{x}^{3}-{x}^{2}+{x}^{3}-1}{x}$=$\frac{{x}^{2}（x-1）+（x-1）（{x}^{2}+x+1）}{x}$
=$\frac{（x-1）（2{x}^{2}+x+1）}{x}$，
因为x＞1，所以x-1＞0，
又2x²+x+1=$2{（x+\frac{1}{4}）}^{2}+\frac{7}{8}$＞0，则$\frac{（x-1）（2{x}^{2}+x+1）}{x}＞$0
所以g′（x）＞0，即函数g（x）在（1，+∞）上递增，
则g（x）＞g（1）=$\frac{1}{6}$，
所以b≤$\frac{1}{6}$，故b的取值范围是（-∞，$\frac{1}{6}$]．

点评本题考查求导公式和法则，导数与函数单调性的关系，分离常数法，以及恒成立问题的转化，属于中档题．

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