天一文化海南省2022-2023学年高一年级学业水平诊断(一)1文理 数学

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天一文化海南省2022-2023学年高一年级学业水平诊断(一)1文理 数学试卷答案

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15．已知正实数x，y，z满足z=x²-xy+4y²，则当$\frac{z}{xy}$取得最小值时，$\frac{1}{x}-\frac{2}{y}+\frac{3}{z}$的最小值为$-\frac{9}{8}$．

分析先用“立方和”公式a³+b³=（a+b）•（a²-ab+b²），将原式化为（a+b+c）•（a²-ab+b²），再根据题中条件得出结论．

解答证明：运用“立方和”公式证明
a³+b³=（a+b）•（a²-ab+b²），
∴原式=a³+b³+（a²c+b²c-abc）
=（a+b）•（a²-ab+b²）+c（a²-ab+b²）
=（a+b+c）•（a²-ab+b²）
∵a+b+c=0，
∴原式=0，
即当a+b+c=0时，a³+a²c+b²c-abc+b³=0．

点评本题主要考查了运用综合法证明等式问题，涉及到立方和公式的应用，属于基础题．

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