2024届全国高考分科模拟检测示范卷XGK✰(二)文理 数学

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2024届全国高考分科模拟检测示范卷XGK✰(二)文理 数学试卷答案

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9.如图所示,质量为M、长度为l的小车静止在光滑的水平面上,质量为m的小物块(可视为质点)放在小车的最左端,现有一水平恒力F作川在小物块上,使物块从静止开始做匀加速直线运动,物块和小车之间的摩擦力为n经过时间,小车运动的位移为5,,物块刚好滑到小车的最右端,则这过程巾,下列说法止确的是()A.物块克服摩擦力做功为B.物块的动能变化为F(s+l)C.小车的动能变化为sD.物块和小车组成的系统因摩擦而增加的内能为J

分析（1）把抛物线方程整理成标准方程，进而可得焦点的坐标．
（2）设P（x₀，y₀）则y₀=$\frac{1}{4}$x₀²，根据y′=$\frac{1}{2}$x，判断在P点处抛物线（二次函数）的切线的斜率k=$\frac{1}{2}$x₀，进而可得切线方程和焦点F到切线L的距离，最后判断当且仅当x₀=0时上式取“=”此时P的坐标是（0，0）．

解答解：（1）抛物线方程为x²=4y，故焦点F的坐标为（0，1）．
（2）设P（x₀，y₀）则y₀=$\frac{1}{4}$x₀²，
对x²=4y进行求导得
y′=$\frac{1}{2}$x，
∴在P点处抛物线（二次函数）的切线的斜率k=$\frac{1}{2}$x₀
∴切线L的方程是：y-y₀=k（x-x₀），即$\frac{1}{2}$x₀x-y-$\frac{1}{4}$x₀²=0
∴焦点F到切线L的距离d=$\frac{\frac{1}{4}{x}_{0}^{2}+1}{\sqrt{\frac{1}{4}{x}_{0}^{2}+1}}$=$\sqrt{\frac{1}{4}{x}_{0}^{2}+1}$≥1，
当且仅当x₀=0时上式取“=”此时P的坐标是（0，0）
∴当P在（0，0）处时，焦点F到切线L的距离最小

点评本题主要考查了抛物线的应用及抛物线与直线的关系．考查了学生综合分析和解决问题的能力．

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