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［新疆大联考］新疆大联考2024届高三年级9月联考文理 数学试卷答案
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15.(16分)光滑半圆环质量为M,半径为R,上面套着一个质量为m的小珠子.半圆环竖立在光滑的地面上,运动过程中半圆环总能保持竖立.回答以下问题:(1)如图甲,小珠子静止在最高点,轻微扰动一下小球,使其从最高点下落,求出小珠子落到最低点时半圆环横向移动的距离x以及小珠子落地的速度的大小;v0(v0<gR),(2)如图乙,将半圆环固定在地面,给小珠子一个初速度v(v<√gR),小珠子的位置用对应的圆θ(θ心角θ表示,求出小珠子与圆环间弹力恰好为0时对应的角度(可用的余弦值表示);θ(3)如图丙,取消半圆环与地面的固定,在其顶端静置两个相同的小珠子.让这两个小珠子从静止释放,二者会沿着相反的方向下滑.为确保半圆环总是不离开地面,求出小珠子与半圆环质量之比mM的取值范围.甲
分析（1）由于${a_{n+1}}=\frac{4}{{4-{a_n}}}（n∈{N^*}），{a_1}=1$，${b_n}=\frac{2}{{2-{a_n}}}$，可得bn+1=$\frac{2}{2-{a}_{n+1}}$=1+bn，利用等差数列的通项公式可得bn=n．对任意正整数n，要证明|sin（bnθ）|≤bn|sinθ|，只要证明：|sinnθ|≤n|sinθ|，利用数学归纳法证明即可．
（2）由（1）可得：$n=\frac{2}{2-{a}_{n}}$，解得an=2-$\frac{2}{n}$．cn=Sn-2n+2ln（n+1），当n≥2时，可得cn-cn-1=2（ln$（1+\frac{1}{n}）$-$\frac{1}{n}$）．（n≥2）．令1+$\frac{1}{n}$=x，$1＜x≤\frac{3}{2}$．记f（x）=lnx-（x-1），利用导数研究其单调性即可得出．
解答证明：（1）∵${a_{n+1}}=\frac{4}{{4-{a_n}}}（n∈{N^*}），{a_1}=1$，${b_n}=\frac{2}{{2-{a_n}}}$，
∴bn+1=$\frac{2}{2-{a}_{n+1}}$=$\frac{2}{2-\frac{4}{4-{a}_{n}}}$=$\frac{2（4-{a}_{n}）}{4-2{a}_{n}}$=1+$\frac{2}{2-{a}_{n}}$=1+bn，
∴bn+1-bn=1，∴数列{bn}是等差数列，首项b1=$\frac{2}{2-{a}_{1}}$=1，公差为1．
∴bn=1+（n-1）=n．
对任意正整数n，要证明|sin（bnθ）|≤bn|sinθ|，只要证明：|sinnθ|≤n|sinθ|，（*）．
下面利用数学归纳法证明：
①当n=1时，（*）成立．
②假设n=k时，（*）成立，即|sinkθ|≤k|sinθ|，
则当n=k+1时，|sin（k+1）θ|=|sinkθcosθ+coskθsinθ|≤|sinkθ||cosθ|+|coskθ||sinθ|≤|sinkθ|+|sinθ|≤（k+1）|sinθ|，
即n=k+1时，（*）成立．
由①②可知：对任意正整数n，|sin（bnθ）|≤bn|sinθ|．
（2）由（1）可得：$n=\frac{2}{2-{a}_{n}}$，解得an=2-$\frac{2}{n}$．
cn=Sn-2n+2ln（n+1），当n≥2时，cn-1=Sn-1-2（n-1）+2lnn，
∴cn-cn-1=an-2+2ln$\frac{n+1}{n}$=-$\frac{2}{n}$+2ln$\frac{n+1}{n}$=2（ln$（1+\frac{1}{n}）$-$\frac{1}{n}$）．（n≥2）．
令1+$\frac{1}{n}$=x，$1＜x≤\frac{3}{2}$．记f（x）=lnx-（x-1），
f′（x）=$\frac{1}{x}$-1=$\frac{1-x}{x}$＜0，∴f（x）在$（1，\frac{3}{2}]$上单调递减，
∴f（x）＜f（1）=0，∴ln$（1+\frac{1}{n}）$-$\frac{1}{n}$＜0．
∴cn-cn-1＜0，即cn＜cn-1，
∴数列{cn}是递减数列．
点评本题考查了数列的单调性、利用导数研究函数的单调性、数学归纳法、递推关系的应用、和差公式、不等式的性质、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
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