2024届河北省唐山市高三上学期摸底演练（9月）文理 数学

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2024届河北省唐山市高三上学期摸底演练（9月）文理 数学试卷答案

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15.(16分)如图所示,A的质量为0.2kg,B的质量为0.4kg,并排放在光滑水平面上,A上固定一竖直轻杆,轻杆上端的O点系一长为l=0.2m的细线,细线另一端系一质量为0.6kg的小球C。现将Ｃ球拉起使细线水平伸直,并由静止释放Ｃ球。g=10m/s^2。,求:(1)A、B两木块分离时,A、B、C的速度大小;(2)从开始运动到A、B分离,A的位移大小;(3)A、B两木块分离后C能上升到的最大高度(相对于C经过的最低点);(材料来源:选择性必修一,P29)

分析先根据椭圆的标准方程，求得半焦距c，进而根据椭圆的定义求得|MF₁|+|MF₂|的值，进而利用余弦定理求得|MF₁|和|MF₂|的关系式，联立方程求得|MF₁|•|MF₂|，最后根据三角形面积公式求得三角形的面积．

解答解：由椭圆$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{16}$=1，得a=5，b=4，c=$\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}$=3．
根据椭圆定义，有|MF₁|+|MF₂|=2a=10．
在△F₁MF₂中，由余弦定理，得到
|F₁F₂|²=|MF₁|²+|MF₂|²-2|MF₁|•|MF₂|•cos∠F₁MF₂．
即36=|MF₁|²+|MF₂|²-2|MF₁|•|MF₂|•cos$\frac{π}{6}$，
36=|MF₁|²+|MF₂|²-$\sqrt{3}$|MF₁|•|MF₂|
=（|MF₁|+|MF₂|）²-（2+$\sqrt{3}$）|MF₁|•|MF₂|=10²-（2+$\sqrt{3}$）|MF₁|•|MF₂|，
解得|MF₁|•|MF₂|=64（2-$\sqrt{3}$）．
△F₁MF₂的面积为：S=$\frac{1}{2}$|MF₁|•|MF₂|sin∠F₁MF₂
=$\frac{1}{2}$×64（2-$\sqrt{3}$）×sin$\frac{π}{6}$=16（2-$\sqrt{3}$）．

点评本题主要考查了椭圆的应用．特别是利用椭圆的定义解决椭圆的实际问题，同时考查解三角形的余弦定理和面积公式的运用，属于中档题．

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