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衡水金卷 2024届高三年级10月份大联考(新教材)文理 数学试卷答案
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15.(18分)如图所示,在倾角=37^的斜面的底端有一个固定挡板D,处于自然长度的轻质弹簧一端固定在挡板D上,另一端在O点,斜面OD部分光滑将质量m=1kg的物块(可视为质点)压缩弹簧0.5m后由静止释放,物块第一次到达最高点P。已知物块与斜面PO间的动摩擦因数u=0.5,PO的长度L=7.2m。,取重力加速度大小g=10m/s^2,37^=0.6,37^=0.8,求:(1)物块第一次经过O点时的速度大小;v=lo+at.(2)物块由静止释放时弹簧的弹性势能;(3)物块第二次在斜面上滑的最大距离。
分析（1）根据已知条件列出方程组，求出a1，q，代入通项公式即可；
（2）根据{bn}的通项公式特点可知使用错位相减法求和．
解答解：（1）设等比数列{an}的公比为q，
∵a6=64，a4、a5的等差中项为3a3．
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}{q}^{5}=64}\\{{a}_{1}{q}^{3}+{a}_{1}{q}^{4}=6{a}_{1}{q}^{2}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=-\frac{64}{243}}\\{q=-3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=2}\\{q=2}\end{array}\right.$．
∵{an}是递增数列，∴a1=2，q=2．
∴an=a1qn-1=2n．
（2）bn=$\frac{n}{{a}_{2n-1}}$=$\frac{n}{{2}^{2n-1}}$．
∴Tn=$\frac{1}{2}$+$\frac{2}{{2}^{3}}$+$\frac{3}{{2}^{5}}$+$\frac{4}{{2}^{7}}$+…+$\frac{n-1}{{2}^{2n-3}}$+$\frac{n}{{2}^{2n-1}}$．
∴$\frac{1}{4}{T}_{n}$=$\frac{1}{{2}^{3}}$+$\frac{2}{{2}^{5}}$+$\frac{3}{{2}^{7}}$+$\frac{4}{{2}^{11}}$+…+$\frac{n-1}{{2}^{2n-1}}$+$\frac{n}{{2}^{2n+1}}$．
∴$\frac{3}{4}{T}_{n}$=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{3}}$+$\frac{1}{{2}^{5}}$+$\frac{1}{{2}^{7}}$+…+$\frac{1}{{2}^{2n-1}}$-$\frac{n}{{2}^{2n+1}}$
=$\frac{\frac{1}{2}（1-（\frac{1}{4}）^{n}）}{1-（\frac{1}{4}）^{\;}}$-$\frac{n}{{2}^{2n+1}}$=$\frac{2}{3}$（1-$\frac{1}{{2}^{2n}}$）-$\frac{n}{{2}^{2n+1}}$
=$\frac{2}{3}$-$\frac{1}{3}$•$\frac{1}{{2}^{2n-1}}$-$\frac{n}{{2}^{2n+1}}$．
∴Tn=$\frac{8}{9}$-$\frac{1}{9}$•$\frac{1}{{2}^{2n-3}}$-$\frac{n}{3•{2}^{2n-1}}$．
点评本题考查了等比数列的通项公式及数列求和，弄清数列类型找到与之对应的求和方法是关键．
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