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河南省2023-2024学年七年级上学期阶段性评价卷一文理 数学试卷答案
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8.未来的星际航行中,宇航员将长期处于完全失重状态,为缓解这种状态带来的不适,有A在在未来的航天器上加装一段圆柱形旋转舱,如图所示。设旋转舱的半径为3.3m,宇重心离脚底的距离为0.85m,取重力加速度大小g=9.8m/s^2,,当旋转舱绕其轴线匀时,宇航员站在旋转舱内的圆柱形侧壁上(不考虑侧壁的厚度)可以受到与他站在地球相同大小的支持力,为达到上述目的,旋转舱转动的角速度大小应为A.2rad/sB.76633rad/sC.141717rad/sD.0.875rad/s
分析取BD的中点E，则AE⊥BD，CE⊥BD．?从而得到BD⊥AC；AB与平面BCD成45°的角；设正方形边长为a，则AD=DC=a，AE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a=EC．从而AC=a；以E为坐标原点，EC、ED、EA分别为x，y，z轴建立直角坐标系，利用向量法得到AB与CD所成的角为60°．
解答解：在①中：取BD的中点E，则AE⊥BD，CE⊥BD．?
∴BD⊥面AEC，∴BD⊥AC，故①正确；
在②中：∵AE⊥平面BCD，∠ABD为AB与面BCD所成的角，
∵AE=BE，∴∠ABD=45°，∴AB与平面BCD成45°的角，故②不正确；
在③中：设正方形边长为a，
则AD=DC=a，AE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a=EC．∴AC=a．?
∴△ACD为等边三角形，故③正确；?
在④中：以E为坐标原点，EC、ED、EA分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，?
则A（0，0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$a），B（0，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，0），D（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，0），C（$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，0，0）．??
$\overrightarrow{AB}$=（0，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$a），$\overrightarrow{DC}$=（$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，0）．
cos＜$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{DC}$＞=$\frac{\frac{1}{2}a}{a×a}$=$\frac{1}{2}$．?
∴＜$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{DC}$＞=60°，∴AB与CD所成的角为60°，故④正确．
∴真命题为①③④．?
点评本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用．
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