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2023~2024学年山西省高三10月联考(24-86C)文理 数学试卷答案
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10.已知数列{an}中,a1=$\frac{4}{3}$,且有an+1=an2-an+1,n∈N*
(I)求证:数列{an}是递增数列;
(Ⅱ)记Sn=$\frac{1}{{a}_{1}}+\frac{1}{{a}_{2}}+…+\frac{1}{{a}_{n}}$,Tn=$\frac{1}{{a}_{1}}•\frac{1}{{a}_{2}}•…•\frac{1}{{a}_{n}}$求证:Sn+3Tn=3.
分析(1)由平面向量数量积的运算化简已知可得cosA=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$,结合A的范围即可得解.
(2)由(1)可得sinA,利用三角形面积公式可求bc=4,又b+c=5,由余弦定理即可解得a的值.
解答解:(1)∵$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=(-cosB)(-cosC)+sinC×(-sinB)=cos(B+C)=-cosA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$.
∴cosA=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$.
∵A∈(0,π),
∴A=$\frac{5π}{6}$.
(2)∵由(1)可得A=$\frac{5π}{6}$,可求sinA=$\frac{1}{2}$,
∴△ABC的面积S=1=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}×bc×\frac{1}{2}$,解得:bc=4.
∵b+c=5,
∴由余弦定理可得:a=$\sqrt{{b}^{2}+{c}^{2}-2bccosA}$=$\sqrt{(b+c)^{2}-2bc+\sqrt{3}bc}$=$\sqrt{25-8+4\sqrt{3}}$=$\sqrt{17+4\sqrt{3}}$.
点评本题主要考查了平面向量数量积的运算,三角形面积公式,余弦定理的综合应用,考查了计算能力,属于中档题.
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