炎徳文化2023届名师导学·名校名卷经典试题汇编(六)6数学

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炎徳文化2023届名师导学·名校名卷经典试题汇编(六)6数学试卷答案

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6．已知函数f（x）=$\frac{ax+b}{1+{x}^{2}}$是定义在（m，1）上的奇函数（a，b，m为常数），且f（2）=$\frac{4}{5}$．
（1）确定函数f（x）的解析式及定义域；
（2）判断并利用定义证明f（x）在（m，1）的单调性．
（3）若对任意t∈[-2，2]，是否存在实数x使f（tx-2）+f（x）＜0恒成立？若存在则求出实数x的取值范围，若不存在则说明理由．

分析求出f′（x），令f′（x）=0，得极值点．求出函数f（x）=x³-3x+3在区间[-3，3]上的端点值，然后求出最大值与最小值．

解答解：∵f（x）=x³-3x+3，
∴f′（x）=3x²-3，
令f′（x）=3x²-3=0，得x₁=-1，x₂=1．
∵x₁=-1，x₂=1都在区间[-2，4]内，
且f（-2）=（-2）³-3×（-2）+3=1，
f（-1）=（-1）³-3×（-1）+3=5，
f（1）=1³-3×1+3=1，
f（4）=4³-3×4+3=55．
∴函数f（x）=x³-3x+3在区间[-3，3]上的最大值55，最小值 1．

点评本题考查利用导数求函数在闭区间上的最大值和最小值，解题时要认真审题，仔细解答．

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