沈阳二中2022-2023学年度高三(23届)上学期12月阶段测试文理数学

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沈阳二中2022-2023学年度高三(23届)上学期12月阶段测试文理数学试卷答案

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9．椭圆$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$两个焦点分别是F₁，F₂，点P是椭圆上任意一点，则$\overrightarrow{P{F_1}}•\overrightarrow{P{F_2}}$的取值范围是[-2，1]．

分析（1）由条件利用绝对值的意义求出不等式f（x）≤6的解集M．
（2）用分析法证明此不等式，分析使此不等式成立的充分条件为（a²-9）（9-b²）≤0，而由条件a，b∈M可得（a²-9）（9-b²）≤0成立，从而证得要证的不等式．

解答解：（1）不等式即|x+2|+|x-2|≤6，
而|x+2|+|x-2|表示数轴上的x对应点到-2、2对应点的距离之和，
-3和3对应点到-2、2对应点的距离之和正好等于6，
故不等式的解集为M=[-3，3]．
（2）要证3|a+b|≤|ab+9|，只要证9（a+b）²≤（ab+9）²，
即证：9（a+b）²-（ab+9）²=9（a²+b²+2ab）-（a²•b²+18ab+81）=9a²+9b²-a²•b²-81=（a²-9）（9-b²）≤0，
而由a，b∈M，可得-3≤a≤3，-3≤b≤3，
∴（a²-9）≤0，（9-b²）≥0，∴（a²-9）（9-b²）≤0成立，
故要证的不等式3|a+b|≤|ab+9|成立．

点评本题主要考查绝对值的意义、绝对值不等式的解法，用分析法证明不等式，体现了转化的数学思想，属于中档题．

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