江西省2022-2023学年高二年级12月统一调研测试文理数学

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江西省2022-2023学年高二年级12月统一调研测试文理数学试卷答案

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4．为了搞好学校的工作，全校各班级一共提出了p（p∈N₊）条建议，已知有些班级提出了相同的建议，且任何两个班级都至少有一条建议相同，但没有两个班提出全部相同的建议，求证该校的班级数不多于2^p-1个．

分析（Ⅰ）已知等式利用正弦定理化简，利用两角和与差的正弦函数公式及二倍角的正弦函数公式化简，再利用诱导公式化简求出sinA的值，即可确定出A的度数；
（Ⅱ）表示出所证不等式左右两边之差，利用余弦定理及完全平方公式性质化简，判断差的正负即可得证；
（Ⅲ）由a=b，得到A=B，求出C的度数，在三角形AMC中，由AM的长与cosC的值，求出AC的长，利用三角形面积公式求出三角形ABC面积即可．

解答解：（Ⅰ）∵bcosC+ccosB=2asinA，
∴sinBcosC+sinCcosB=2sinAsinA，
即sin（B+C）=2sinAsinA?sinA=2sinAsinA，
∵sinA＞0，∴sinA=$\frac{1}{2}$，
∵a≤b≤c，
∴0＜A≤$\frac{π}{3}$，
∴A=$\frac{π}{6}$；
（Ⅱ）∵a²-（2-$\sqrt{3}$）bc=b²+c²-2bccos$\frac{π}{6}$-（2-$\sqrt{3}$）bc=b²+c²-2bc=（b-c）²≥0，
∴a²≥（2-$\sqrt{3}$）bc；
（Ⅲ）由a=b及（Ⅰ）知A=B=$\frac{π}{6}$，
∴C=$\frac{2π}{3}$，
设AC=x，则MC=$\frac{1}{2}$x，
又AM=$\sqrt{7}$，
在△AMC中，由余弦定理得AC²+MC²-2AC•MCcosC=AM²，
即x²+（$\frac{x}{2}$）²-2x•$\frac{x}{2}$•cos120°=7，
解得：x=2，
则S_△ABC=$\frac{1}{2}$x²sin$\frac{2π}{3}$=$\sqrt{3}$．

点评此题考查了余弦定理，两角和与差的正弦函数，以及三角形面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．

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