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2023届百师联盟高三一轮复*联考(四)福建卷文理数学试卷答案
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7．设函数f（x）=$\frac{{e}^{x}+b}{{e}^{x}}$（b∈R）f（x）在点（0，f（0））处的切线为x-y=0．
（1）求证：当x＞-1时，f（x）≥$\frac{x}{x+1}$；
（2）若当x≥0时f（x）≤$\frac{x}{ax+1}$恒成立，求实数a的取值范围．
分析（1）由双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的离心率$\frac{\sqrt{6}}{2}$，可得a，c的关系，进而可得a，b的关系，即可求双曲线C的渐近线方程；
（2）利用双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的离心率$\frac{\sqrt{6}}{2}$，它的一个顶点到较近的焦点的距离为$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$，建立方程，求出a，c，可得b，即可求出双曲线的标准方程．
解答解：（1）∵双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的离心率$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
∴$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
∴1+$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{3}{2}$，
∴$\frac{b}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴双曲线C的渐近线方程为y=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$x；
（2）∵双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的离心率$\frac{\sqrt{6}}{2}$，它的一个顶点到较近的焦点的距离为$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$，
∴$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，c-a=$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$，
∴c=$\sqrt{3}$，a=$\sqrt{2}$
∴b=1，
∴双曲线的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{2}-{y}^{2}$=1．
点评本题考查双曲线的渐近线方程，标准方程，考查学生的计算能力，比较基础．
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