天利38套2022届普通高等学校招生全国统一考试（全国卷）能力拓展卷（八）数学试卷，语文、数学、英语、物理、化学、生物、历史、地理、政治等更多试卷答案请关注微信号:趣找答案,获取更多2
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设动点是圆上任意一点，过作轴的垂线，垂足为，若点在线段上，且满足．
（1）求点的轨迹的方程；
（2）设直线与交于， 两点，点坐标为，若直线， 的斜率之和为定值3，求证：直线必经过定点，并求出该定点的坐标．
【答案】（1）．（2）见解析.
【解析】试题分析：（1）设P、M的坐标，根据条件得两点坐标关系，再代入点满足的方程，化简得点的轨迹的方程；（2）由题意，得．即得,再将直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理化简得
最后根据点斜式特点得定点.
试题解析： 1）设点P、M的坐标分别为 (x，y)、 (x0，y0)，由，得
∴
由点M在圆上，故，代入得．
∴ 点P的轨迹C的方程为 ．
（2）当直线l的斜率不存在时，设直线l的方程为： ，
设A，B两点的坐标分别为 (x0，y0)、(x0， y0)，
由题意，得，解得，
所以直线l的方程为： ．当直线l的斜率存在时，
设直线l的方程为y=kx+b，与C联立，
消元得．
设A，B两点的坐标分别为 (x1，y1)、 (x2，y2)，
则， （*）．
由题意，得．
将y1=kx1+b和y2=kx2+b代入上式，可得,
所以．（**）
将（*）代入（**），化简得，解得，
代入直线l方程，得．
不论b怎么变化，当=0即x=时， ．
综上所述，直线l恒过定点．
.
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