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2022~23年度考前模拟演练卷五5(新)文理 数学试卷答案
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6．已知椭圆的对称轴是坐标轴，离心率e=$\frac{2}{3}$，长轴长为6，则椭圆的方程（ ）
| A． | $\frac{{x}^{2}}{36}+\frac{{y}^{2}}{20}=1$ | B． | $\frac{{x}^{2}}{36}+\frac{{y}^{2}}{20}=1或\frac{{x}^{2}}{20}+\frac{{y}^{2}}{36}=1$ | ||
| C． | $\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{5}=1$ | D． | $\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{5}=1或\frac{{x}^{2}}{5}+\frac{{y}^{2}}{9}=1$ |
分析（1）把抛物线方程整理成标准方程，进而可得焦点的坐标．
（2）设P（x0，y0）则y0=$\frac{1}{4}$x02，根据y′=$\frac{1}{2}$x，判断在P点处抛物线（二次函数）的切线的斜率k=$\frac{1}{2}$x0，进而可得切线方程和焦点F到切线L的距离，最后判断当且仅当x0=0时上式取“=”此时P的坐标是（0，0）．
解答解：（1）抛物线方程为x2=4y，故焦点F的坐标为（0，1）．
（2）设P（x0，y0）则y0=$\frac{1}{4}$x02，
对x2=4y进行求导得
y′=$\frac{1}{2}$x，
∴在P点处抛物线（二次函数）的切线的斜率k=$\frac{1}{2}$x0
∴切线L的方程是：y-y0=k（x-x0），即$\frac{1}{2}$x0x-y-$\frac{1}{4}$x02=0
∴焦点F到切线L的距离d=$\frac{\frac{1}{4}{x}_{0}^{2}+1}{\sqrt{\frac{1}{4}{x}_{0}^{2}+1}}$=$\sqrt{\frac{1}{4}{x}_{0}^{2}+1}$≥1，
当且仅当x0=0时上式取“=”此时P的坐标是（0，0）
∴当P在（0，0）处时，焦点F到切线L的距离最小
点评本题主要考查了抛物线的应用及抛物线与直线的关系．考查了学生综合分析和解决问题的能力．
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