2022-2023学年陕西省八年级期末质量监测(23-CZ53b)文理 数学

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2022-2023学年陕西省八年级期末质量监测(23-CZ53b)文理 数学试卷答案

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13．椭圆C₁的中心在坐标原点，两焦点分别为双曲线C₂：$\frac{{x}^{2}}{2}$-y²=1的顶点，直x+$\sqrt{2}$y=0与椭圆C₁交于A、B两点，且点A的坐标为（-$\sqrt{2}$，1），点P是椭圆C₁上异于点A，B的任意一点．
（1）求椭圆C₁的标准方程；
（2）求△ABP面积的最大值及此时点P的坐标．

分析由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数可得a+b=1，然后利用基本不等式求得$\frac{1}{a}$+$\frac{4}{b}$的最小值．

解答解：由约束条件$\left\{\begin{array}{l}{3x-y-2≤0}\\{x-y≥0}\\{x≥0，y≥0}\end{array}\right.$作出可行域如图，
联立$\left\{\begin{array}{l}{x-y=0}\\{3x-y-2=0}\end{array}\right.$，解得A（1，1）．
由z=ax+by（a＞0，b＞0），得$y=-\frac{a}{b}x+\frac{z}{b}$，
由图可知，z_max=a+b=1．
∴$\frac{1}{a}$+$\frac{4}{b}$=（$\frac{1}{a}+\frac{4}{b}$）（a+b）=5+$\frac{b}{a}+\frac{4a}{b}$$≥5+2\sqrt{\frac{b}{a}•\frac{4a}{b}}=9$．
当且仅当2a=b，即a=$\frac{1}{3}$，b=$\frac{2}{3}$时上式等号成立．
∴$\frac{1}{a}$+$\frac{4}{b}$的最小值为9．
故答案为：9．

点评本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，训练了利用基本不等式求最值，是中档题．

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