华普教育 2023全国名校高考模拟信息卷 老高考(二)2文理 数学

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华普教育 2023全国名校高考模拟信息卷 老高考(二)2文理 数学试卷答案

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7．已知椭圆$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$过点$（1，\frac{3}{2}）$，且离心率为$\frac{1}{2}$．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若椭圆C左顶点为A，动直线l过点P（4，0）且与椭圆C相交于D，E两点（不同于点A），求直线AD与直线AE的斜率之乘积．
（3）在（2）条件下，点D关于x轴的对称点记为F，证明：直线EF过定点，求出定点坐标．

分析由[x]≤x，可得0＜x≤1，讨论x=1和0＜x＜1，结合函数的单调性和零点存在定理，即可得到所求解的个数．

解答解：由[x]≤x，即有x+log₂x=[x]≤x，
即log₂x≤0，可得0＜x≤1，
当x=1时，有1+log₂1=1成立；
当0＜x＜1时，[x]=0，即有x+log₂x=0，
令f（x）=x+log₂x，f（x）在（0，1）递增，
f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{2}$-1＜0，f（1）=1＞0，
则f（x）在（0，1）有且只有一个零点，
即方程仅有一解．
综上可得原方程的解有两个．
故选C．

点评本题考查方程的解的个数，考查函数零点存在定理的运用，以及运算能力，属于中档题．

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