2023届内蒙古高三年级3月联考（4001C）文理 数学

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2023届内蒙古高三年级3月联考（4001C）文理 数学试卷答案

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4．**AB靠在墙上，**的底端A到墙根O的距离为2m，**的顶端B到地面的距离为7m，现将**的底端A向外移动到A′，使**的底端A′到墙根O的距离等于3m，同时**的顶端B下降B′，那么BB′（　　）

分析（1）求出x关于y的函数，然后将x，y互换位置得到反函数，注意自变量的取值范围；
（2）f（x）=$\frac{a•{2}^{x}+{a}^{2}-2}{{2}^{x}+1}$=a+$\frac{{a}^{2}-a-2}{{2}^{x}+1}$，由复合函数的单调性可知若f（x）在定义域上单调递增，则a²-a-2＜0．

解答解：（1）a=1时，y=f（x）=$\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}$=1-$\frac{2}{{2}^{x}+1}$，
∴2^x=$\frac{2}{1-y}-1$，x=log₂（$\frac{2}{1-y}-1$），
∴f^-1（x）=log₂（$\frac{2}{1-x}-1$），（-1＜x＜1）．
（2）f（x）=$\frac{a•{2}^{x}+{a}^{2}-2}{{2}^{x}+1}$=a+$\frac{{a}^{2}-a-2}{{2}^{x}+1}$，
∵f（x）在定义域上单调递增，
∴a²-a-2＜0，
解得-1＜a＜2．
∴实数a的取值范围是（-1，2）．

点评本题考查了反函数的求法及复合函数的单调性，注意定义域的范围．

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