百师联盟2023届高三冲刺卷(二)2全国卷文理 数学

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百师联盟2023届高三冲刺卷(二)2全国卷文理 数学试卷答案

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16．已知函数f（x）=$\frac{1}{3}$ax³-$\frac{1}{2}$bx²+x．
（I）若曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为6x-6y-5=0，求a，b的值；
（Ⅱ）当a=-1时，函数f（x）在（1，+∞）上存在单调递增区间，求b的取值范围；
（Ⅲ）当a≥2时，设x₁，x2是函数f（x）的两个极值，且f′（x）是f（x）的导函数，如果x₂-x₁=2，x∈（x₁，x₂）时，函数g（x）=f′（x）+2（x-x₂）的最小值为h（a），求h（a）的最大值．

分析（1）当$θ=\frac{π}{6}$时可得$\overrightarrow{a}$=$（1，\frac{1}{2}）$，由向量的运算可得；
（2）由向量平行可得$sinθ=\frac{1}{2}$，由同角三角函数基本关系可得$cosθ=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，代入两角和的正弦公式可得．

解答解：（1）∵$θ=\frac{π}{6}$，∴$\overrightarrow{a}$=$（1，\frac{1}{2}）$，
∴向量2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$=$2（1，\frac{1}{2}）+（2，1）=（4，2）$；
（2）∵$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow{b}$，∴$sinθ=\frac{1}{2}$，
又∵$θ∈（0，\frac{π}{2}）$，∴$cosθ=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
∴$sin（θ+\frac{π}{4}）=sinθcos\frac{π}{4}+cosθsin\frac{π}{4}=\frac{{\sqrt{2}+\sqrt{6}}}{4}$

点评本题考查两角和与差的三角函数公式，涉及向量的运算和同角三角函数基本关系，属基础题．

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