NT2023届普通高等学校招生全国统一考试模拟试卷(二)(全国卷)文理 数学

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NT2023届普通高等学校招生全国统一考试模拟试卷(二)(全国卷)文理 数学试卷答案

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8．设命题p：{x|x²-4ax+3a²＜0}（a＞0），命题q：{x|1＜x-1≤2}
（1）如果a=1，且p∧q为真时，求实数x的取值范围；
（2）若￢p是￢q的充分不必要条件时，求实数a的取值范围．

分析（1）若a=1，则f（x）=sin²（x-$\frac{π}{3}$）-2sin（x-$\frac{π}{3}$），由f（α）=-$\frac{5}{9}$，可得sin（α-$\frac{π}{3}$）=$\frac{2}{3}$，α-$\frac{π}{3}$是第二象限角，利用同角三角函数的基本关系公式，可得tan（α-$\frac{π}{3}$）的值；
（2）令sin（x-$\frac{π}{3}$）=t，则y=f（x）=t²-2at，t∈[-1，1]，结合二次函数的图象和性质，及y=f（x）在x∈R上有最小值-2，可得满足条件的a的值．

解答解：函数f（x）=sin²（x-$\frac{π}{3}$）+2acos（x+$\frac{π}{6}$）=sin²（x-$\frac{π}{3}$）-2asin[（x+$\frac{π}{6}$）-$\frac{π}{2}$]=sin²（x-$\frac{π}{3}$）-2asin（x-$\frac{π}{3}$）
（1）若a=1，则f（x）=sin²（x-$\frac{π}{3}$）-2sin（x-$\frac{π}{3}$），
由f（α）=sin²（α-$\frac{π}{3}$）-2sin（α-$\frac{π}{3}$）=-$\frac{5}{9}$得：sin（α-$\frac{π}{3}$）=$\frac{2}{3}$，或sin（α-$\frac{π}{3}$）=$\frac{5}{3}$（舍去），
∵α是第三象限角，
∴α-$\frac{π}{3}$是第二象限角，
∴cos（α-$\frac{π}{3}$）=-$\frac{\sqrt{5}}{3}$，tan（α-$\frac{π}{3}$）=-$\frac{\frac{2}{3}}{\frac{\sqrt{5}}{3}}$=-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$
（2）令sin（x-$\frac{π}{3}$）=t，则y=f（x）=t²-2at，t∈[-1，1]，
∵y=f（x）在x∈R上的图象是开口朝上，且以t=a为对称轴的抛物线，且有最小值-2，
∴当a≤-1时，1+2a=-2，解得：a=$-\frac{3}{2}$，
当-1＜a＜1时，-a²=-2，解得：a=$±\sqrt{2}$（舍去）
当a≥1时，1-2a=-2，解得：a=$\frac{3}{2}$，
综上所述：a=±$\frac{3}{2}$

点评本题考查的知识点是二倍角公式和和差角公式，同角三角函数的基本关系公式，难度中档．

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