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2023山西省一模高三3月联考文理 数学试卷答案
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9．已知定义域为R的函数$f（x）=\frac{{-{2^x}-b}}{{{2^{x+1}}+2}}$是奇函数．
（Ⅰ）求实数b的值；
（Ⅱ）判断并证明函数f（x）的单调性；
（Ⅲ）若关于x的方程f（x）=m在x∈[0，1]上有解，求实数m的取值范围．
分析（1）利用二倍角公式和将次公式化简得f（x）=sin（2x-$\frac{π}{6}$）-$\frac{1}{2}$，代入周期公式求出；
（2）由f（x）=-1得sin（2x-$\frac{π}{6}$）=$-\frac{1}{2}$．而$\frac{2π}{3}-2x$=$\frac{π}{2}$-（2x-$\frac{π}{6}$），故用诱导公式可求出$cos（\frac{2π}{3}-2x）$．
解答解：（1）$f（x）=\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin2x-\frac{1+cos2x}{2}$=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin2x-\frac{cos2x}{2}-\frac{1}{2}=sin（2x-\frac{π}{6}）-\frac{1}{2}$，
∴f（x）的最小正周期为$T=\frac{2π}{2}=π$．
（2）∵f（x）=-1，
∴$sin（2x-\frac{π}{6}）-\frac{1}{2}=-1$，即$sin（2x-\frac{π}{6}）=-\frac{1}{2}$，
∴$cos（{\frac{2π}{3}-2x}）=cos（{\frac{π}{2}-（2x-\frac{π}{6}）}）=sin（2x-\frac{π}{6}）=-\frac{1}{2}$．
点评本题考查了三角函数化简及诱导公式应用，发现$\frac{2π}{3}-2x$与2x-$\frac{π}{6}$的关系是解题关键．
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