山西省2023年度初中学业水平考试模拟（摸底卷）文理 数学

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山西省2023年度初中学业水平考试模拟（摸底卷）文理 数学试卷答案

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3．极坐标系与直角坐标系xOy有相同的长度单位，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴．已知曲线C₁的极坐标方程为ρ=2$\sqrt{2}$sin（θ+$\frac{π}{4}$），曲线C₂的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=-1+tcosα}\\{y=3+tsinα}\end{array}\right.$，t为参数，0≤α＜π；射线θ=φ，θ=φ+$\frac{π}{4}$，θ=φ-$\frac{π}{4}$，θ=φ+$\frac{π}{2}$与曲线C₁分别交异于极点O的四点A，B，C，D．
（1）若曲线C₁关于曲线C₂对称，求α的值，并把曲线C₁和C₂化成直角坐标方程；
（2）求|OA|•|OC|+|OB|•|OD|的值．

分析根据向量的几何意义即可求出|$\overrightarrow{AC}$|的取值范围．

解答解：|$\overrightarrow{AB}$|=2，|$\overrightarrow{BC}$|=5，
当$\overrightarrow{AB}$与$\overrightarrow{BC}$共线时，且同向时|$\overrightarrow{AC}$|有最大值，即|$\overrightarrow{AC}$|=|$\overrightarrow{AB}$|+|$\overrightarrow{BC}$|=2+5=7，
当$\overrightarrow{AB}$与$\overrightarrow{BC}$共线时，且反向时|$\overrightarrow{AC}$|有最小值，即|$\overrightarrow{AC}$|=|$\overrightarrow{BC}$||-|$\overrightarrow{AB}$|=5-2=3，
故|$\overrightarrow{AC}$|的取值范围是[3，7]．
故选：A．

点评考查向量向量的几何意义和向量的模的计算，关键是最大值和最小值的位置，属于基础题．

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