[阳光启学]2023届全国统一考试标准模拟信息卷(十一)11文理 数学

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[阳光启学]2023届全国统一考试标准模拟信息卷(十一)11文理 数学试卷答案

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5．已知点A（4，8）关于直线l₁：x+y=4的对称点B在抛物线C：y²=2px（p＞0）的准线上．
（1）求抛物线C的方程；
（2）直线l₂与x轴交于点D，与抛物线C交于E、F两点． 是否存在定点D，使得$\frac{1}{{D{E^2}}}+\frac{1}{{D{F^2}}}$为定值？若存在，请指出点D的坐标，并求出该定值；若不存在，请说明理由．

分析由题意可得a+b=9，c=3，结合隐含条件求得a，b的值，则椭圆方程可求．

解答解：由椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，焦距为6，
得2a+2b=18，2c=6，
∴a+b=9，c=3，①
又a²=b²+c²，②
联立①②解得：a=5，b=4．
∴椭圆的方程为：$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$或$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{25}=1$．

点评本题考查椭圆标准方程的求法，关键是对隐含条件的运用，是基础题．

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