安师联盟2023年中考权威预测模拟试卷(二)文理 数学

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安师联盟2023年中考权威预测模拟试卷(二)文理 数学试卷答案

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16．已知函数f（x）=|2x-4|+1．
（Ⅰ）解不等式f（x）＞|x+1|；
（Ⅱ）设正数a，b满足ab=a+b，若不等式f（m+1）≤a+4b对任意a，b∈（0，+∞）都成立，求实数m的取值范围．

分析由$\frac{2x-a}{{x}^{2}+2}$=$\frac{1}{x}$得x²-ax-2=0，由△=a²+8＞0，知|x₁-x₂|=$\sqrt{{a}^{2}+8}$≤3，由此能求出实数m的取值范围．

解答解：由$\frac{2x-a}{{x}^{2}+2}$=$\frac{1}{x}$得x²-ax-2=0．这时△=a²+8＞0．
由于x₁，x₂是方程x²-ax-2=0的两实根，所以$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}+{x}_{2}=a}\\{{x}_{1}{x}_{2}=-2}\end{array}\right.$
从而|x₁-x₂|=$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{{a}^{2}+8}$
因为-1≤a≤1，所以|x₁-x₂|=$\sqrt{{a}^{2}+8}$≤3
不等式m²+tm+1≥|x₁-x₂|对任意a∈A及t∈[-1，1]恒成立．
当且仅当m²+tm+1≥3对任意t∈[-1，1]恒成立．
即m²+tm-2≥0对任意t∈[-1，1]恒成立．
设g（t）=m²+tm-2=tm+m²-2，
则g（t）≥0对任意t∈[-1，1]恒成立，故$\left\{\begin{array}{l}{g（1）≥0}\\{g（-1）≥0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{m+{m}^{2}-2≥0}\\{-m+{m}^{2}-2≥0}\end{array}\right.$，
解得m≥2或m≤-2．
所以，存在实数m，使不等式m²+tm+1≥|x₁-x₂|对任意a∈A及t∈[-1，1]恒成立，其取值范围是{m|m≥2，或m≤-2}．

点评本小题主要考查函数的单调性，导数的应用和不等式等有关知识，考查数形结合及分类讨论思想和灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力．

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