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达州二诊 达州市2023届毕业年级第二次诊断测试模拟考试文理 数学试卷答案
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7．向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$两两构成60°角，且|$\overrightarrow{a}$|=4，|$\overrightarrow{b}$|=2，|$\overrightarrow{c}$|=6，则$\overrightarrow{p}$=$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$+3$\overrightarrow{c}$的长度为$2\sqrt{129}$．
分析（1）$\overrightarrow{MD}$=$\overrightarrow{MB}$+$\overrightarrow{BD}$=（$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AM}$）+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{BC}$，从而解得，$\overrightarrow{MN}$=$\overrightarrow{AN}$-$\overrightarrow{AM}$=n$\overrightarrow{AC}$-m$\overrightarrow{AB}$；
（2）由$\overrightarrow{MD}$与$\overrightarrow{MN}$共线可得（$\frac{1}{2}$-m）n=-$\frac{1}{2}$m，从而解得．
解答解：（1）$\overrightarrow{MD}$=$\overrightarrow{MB}$+$\overrightarrow{BD}$
=（$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AM}$）+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{BC}$
=（$\overrightarrow{AB}$-m$\overrightarrow{AB}$）+$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AB}$）
=（$\frac{1}{2}$-m）$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AC}$=（$\frac{1}{2}$-m）$\overrightarrow{a}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{b}$；
$\overrightarrow{MN}$=$\overrightarrow{AN}$-$\overrightarrow{AM}$
=n$\overrightarrow{AC}$-m$\overrightarrow{AB}$=n$\overrightarrow{b}$-m$\overrightarrow{a}$；
（2）∵$\overrightarrow{MD}$与$\overrightarrow{MN}$共线，
∴存在λ，使$\overrightarrow{MD}$=λ$\overrightarrow{MN}$，
即（$\frac{1}{2}$-m）$\overrightarrow{a}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{b}$=λ（n$\overrightarrow{b}$-m$\overrightarrow{a}$），
故$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}-m=-mλ}\\{\frac{1}{2}=nλ}\end{array}\right.$，
故（$\frac{1}{2}$-m）n=-$\frac{1}{2}$m，
即$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{n}$=2．
点评本题考查了平面向量的线性运算的应用．
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