河北省2022-2023学年度八年级第二学期素质调研二文理 数学

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河北省2022-2023学年度八年级第二学期素质调研二文理 数学试卷答案

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8．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=4+tcosa}\\{y=2+tcosa}\end{array}\right.$ （t为参数，a为直线l的倾斜角），曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ
（1）写出曲线C的直角坐标方程
（2）直线l与曲线C交于不同的两点M，N，设P（4，2）．求|PM|+|PN|的取值范围．

分析（1）数列$-\frac{1}{2}$，0，$\frac{1}{2}$为三阶期待数列，数列$-\frac{3}{8}$，-$\frac{1}{8}$，$\frac{1}{8}$，$\frac{3}{8}$为四阶期待数列．
（Ⅱ）设该2013阶“期待数列”的公差为d，由于a₁+a₂+…+a₂₀₁₃=0，可得a₁₀₀₇=0，a₁₀₀₈=d，对d分类讨论，利用等差数列的通项公式即可得出．
（Ⅲ）当k=n时，显然|S_n|=0$≤\frac{1}{2}$成立；当k＜n时，根据条件①得：S_k=a₁+a₂+…+a_k=-（a_k+1+a_k+2+…+a_n），即|S_k|=|a₁+a₂+…+a_k|=|a_k+1+a_k+2+…+a_n|，再利用绝对值不等式的性质即可得出．

解答解：（1）数列$-\frac{1}{2}$，0，$\frac{1}{2}$为三阶期待数列，
数列$-\frac{3}{8}$，-$\frac{1}{8}$，$\frac{1}{8}$，$\frac{3}{8}$为四阶期待数列．
（Ⅱ）设该2013阶“期待数列”的公差为d，
∵a₁+a₂+…+a₂₀₁₃=0，∴$\frac{2013（{a}_{1}+{a}_{2013}）}{2}$=0，
∴a₁+a₂₀₁₃=0，即a₁₀₀₇=0，
∴a₁₀₀₈=d，
当d=0时，与期待数列的条件①②矛盾，
当d＞0时，据期待数列的条件①②可得a₁₀₀₈+a₁₀₀₉+…+a₂₀₁₃=$\frac{1}{2}$，
∴1006d+$\frac{1006×1005}{2}$d=$\frac{1}{2}$，即d=$\frac{1}{1006×1007}$，
∴a_n=a₁₀₀₇+（n-1007）d=$\frac{n-1007}{1006×1007}$（n∈N^*，n≤2013），
当d＜0时，同理可得a_n=$\frac{-n+1007}{1006×1007}$，（n∈N^*，n≤2013）．
（Ⅲ）当k=n时，显然|S_n|=0$≤\frac{1}{2}$成立；
当k＜n时，根据条件①得：S_k=a₁+a₂+…+a_k=-（a_k+1+a_k+2+…+a_n），
即|S_k|=|a₁+a₂+…+a_k|=|a_k+1+a_k+2+…+a_n|，
∴2|S_k|=|a₁+a₂+…+a_k|+|a_k+1+a_k+2+…+a_n|≤|a₁|+|a₂|+…+|a_k|+|a_k+1|+…+|a_n|=1，
∴|S_k|$≤\frac{1}{2}$（k=1，2，…，n）．

点评本题考查了等差数列的通项公式及其性质、绝对值不等式的性质、新定义“期待数列”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

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