全国名校2022-2023学年高一第二学期期中考试文理 数学

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全国名校2022-2023学年高一第二学期期中考试文理 数学试卷答案

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19．在直角坐标系xoy中，曲线C₁：$\left\{\begin{array}{l}{x=tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$（t为参数，t≠0），其中0≤α＜π，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C₂：ρ=2sinθ，曲线C₃：ρ=2$\sqrt{3}$cosθ．
（I）．求C₂与C₁交点的直角坐标；
（Ⅱ）若C₂与C₁相交于点A，C₃与C₁相交于点B，求|AB|的最大值．

分析（1）利用题中的新定义，可先计算$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AP}$，结合已知A（1，2），利用向量的减法，可求P点坐标．
（2）设平面内曲线C上的点P（x，y），根据把点B绕点A逆时针方向旋转θ角得到点P的定义，可求出其绕原点沿逆时针方向旋转$\frac{π}{4}$后得到点P′（$\frac{\sqrt{2}}{2}$（x-y），$\frac{\sqrt{2}}{2}$（x+y）），另由点P′在曲线x²-y²=3，代入该方程即可求得原来曲线C的方程．

解答解：（1）由已知可得$\overrightarrow{AB}$=（$\sqrt{2}$，-2$\sqrt{2}$），
将点B（1+$\sqrt{2}，2-2\sqrt{2}$），绕点A顺时针旋转$\frac{π}{4}$，
得$\overrightarrow{AP}$=（$\sqrt{2}$cos$\frac{π}{4}$-2$\sqrt{2}$sin$\frac{π}{4}$，-$\sqrt{2}$sin$\frac{π}{4}$-2$\sqrt{2}$cos$\frac{π}{4}$）=（-1，-3）
∵A（1，2），∴P（0，-1）
（2）设平面内曲线C上的点P（x，y），则其绕原点沿逆时针方向旋转$\frac{π}{4}$后得到点P′（$\frac{\sqrt{2}}{2}$（x-y），$\frac{\sqrt{2}}{2}$（x+y）），
∵点P′在曲线x²-y²=3，
∴[（$\frac{\sqrt{2}}{2}$（x-y）]²-[$\frac{\sqrt{2}}{2}$（x+y）]²=3，
整理得xy=-$\frac{3}{2}$．

点评本题以新定义为切入点，考查向量在几何中的应用以及圆锥曲线的轨迹问题，同时考查学生的阅读能力和分析解决问题的能力以及计算能力．融合了向量的减法，解题的关键是正确理解新定义．

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