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2023年陕西省普通高中学业水平考试全真模拟(一)文理 数学试卷答案
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15．某数学老师身高179cm，他爷爷、父亲和儿子的身高分别是176cm、173cm和185cm，因儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测孙子的身高，已知父亲与儿子身高如表一：
| 父亲身高x（cm） | 176 | 173 | 179 |
| 儿子身高y（cm） | 173 | 179 | 185 |
（方案一）：借助（公式1）求$\stackrel{∧}{b}$，借助（公式3），求$\stackrel{∧}{a}$，进而求回归直线方程；
（方案二）：借助（公式2）求$\stackrel{∧}{b}$，借助（公式3）求$\stackrel{∧}{a}$，进而求回归直线方程；
（方案三）：令X=x-173，Y=y-179，则（表一）转化成诶面的（表二）．
| X | 3 | 0 | 6 |
| Y | -6 | 0 | 6 |
结合数据特点任选一种方案，求y与x的回归方程$\stackrel{∧}{y}$=$\stackrel{∧}{b}$x+$\stackrel{∧}{a}$，并根据回归直线预测数学教师的孙子的身高．
分析化简可得$\frac{2a+b}{a}$+$\frac{a}{2a+b}$，从而化为判断函数y=x+$\frac{1}{x}$的单调性，再确定$\frac{2a+b}{a}$的取值范围，由题意知$\left\{\begin{array}{l}{b≥0}\\{2+2a+b≤0}\\{8+4a+b≥0}\end{array}\right.$，从而利用线性规划确定$\frac{2a+b}{a}$∈[$\frac{2}{3}$，2]，从而解得．
解答解：∵$\frac{{5{a^2}+4ab+{b^2}}}{{2{a^2}+ab}}$=$\frac{（2a+b）^{2}+{a}^{2}}{a（2a+b）}$
=$\frac{2a+b}{a}$+$\frac{a}{2a+b}$，
∵α，β是方程2x2+2ax+b=0的两根，且α∈[0，1]，β∈[1，2]，
∴$\left\{\begin{array}{l}{b≥0}\\{2+2a+b≤0}\\{8+4a+b≥0}\end{array}\right.$，
作平面区域如下，
，
$\frac{y}{x}$的几何意义是点（x，y）与点（0，0）的连线的斜率，
结合图象可知，-$\frac{4}{3}$≤$\frac{y}{x}$≤0，
故-$\frac{4}{3}$≤$\frac{b}{a}$≤0，
故$\frac{2a+b}{a}$∈[$\frac{2}{3}$，2]，
而y=x+$\frac{1}{x}$在[$\frac{2}{3}$，1）上单调递减，在[1，2]上单调递增；
且$\frac{2}{3}$+$\frac{3}{2}$=$\frac{13}{6}$，1+1=2，2+$\frac{1}{2}$=$\frac{5}{2}$；
故$\frac{2a+b}{a}$+$\frac{a}{2a+b}$∈[2，$\frac{5}{2}$]；
故答案为：[2，$\frac{5}{2}$]．
点评本题考查了学生的化简运算能力与线性规划的应用，同时考查了对勾函数的应用及数形结合的思想应用．
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