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2023年先知冲刺猜想卷 老高考(四)文理 数学试卷答案
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11．设x，y满足约束条件$\left\{\begin{array}{l}{3x-y-2≤0}\\{x-y≥0}\\{x≥0，y≥0}\end{array}\right.$，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为1，则$\frac{1}{a}$+$\frac{4}{b}$的最小值为9．
分析（1）先求出f（x），g（x）的解析式，确定g（x）∈[1，2]，等式[g（x）]2-mg（x）+2=0，可化为m=y+$\frac{2}{y}$，即可求实数m的最大值和最小值
（2）当x∈[0，$\frac{11π}{12}$]时，f（x）∈[-$\sqrt{2}$，1]，g（-x）∈[-1，1]，利用当x∈[0，$\frac{11π}{12}$]时不等式f（x）+ag（-x）＞0恒成立，求a的取值范围．
解答解：（1）f（x）=$\sqrt{3}$sin（x+$\frac{π}{2}$）+sinx=$\sqrt{3}$cosx+sinx=2sin（x+$\frac{π}{3}$）．
函数y=g（x）的图象上取点（x，y），关于直线x=$\frac{π}{4}$对称点的坐标为（$\frac{π}{2}$-x，y），
代入f（x）=2sin（x+$\frac{π}{3}$），可得y=2sin（$\frac{5π}{6}$-x），
x∈[0，$\frac{π}{2}$），则$\frac{5π}{6}$-x∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{5π}{6}$]，∴y∈[1，2]，
等式[g（x）]2-mg（x）+2=0，可化为m=y+$\frac{2}{y}$，
∴y=$\sqrt{2}$时，m的最小值为2$\sqrt{2}$；m=1或2时，m的最大值为3；
（2）当x∈[0，$\frac{11π}{12}$]时，f（x）∈[-$\sqrt{2}$，1]，g（-x）∈[-1，1]，
∵当x∈[0，$\frac{11π}{12}$]时不等式f（x）+ag（-x）＞0恒成立，
∴a$＜-\sqrt{2}$或a$＞\sqrt{2}$．
点评本题考查三角函数的化简，考查函数的最值，考查恒成立，正确求出函数的解析式是关键．
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