2023衡水金卷先享题信息卷 新高考新教材(三)文理 数学

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2023衡水金卷先享题信息卷 新高考新教材(三)文理 数学试卷答案

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19．已知函数f（x）=sin²x+2$\sqrt{3}sinxcosx+3{cos^2}$x
（1）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间
（2）已知f（α）=2+$\sqrt{3}$，且$α∈[0，\frac{π}{3}]$，求α的值．

分析由已知条件和正切公式可得所求角的正切值，缩小角的范围可得．

解答解：由于tanα=tan[（α-β）+β]=$\frac{tan（α-β）+tanβ}{1-tan（α-β）•tanβ}$=$\frac{\frac{1}{2}-\frac{1}{7}}{1+\frac{1}{2}×\frac{1}{7}}$=$\frac{1}{3}$，且α∈（0，π），
所以α∈（0，$\frac{π}{4}$）
又由tanβ=-$\frac{1}{7}$，且β∈（0，π），
得β∈（-$\frac{π}{2}$，π），所以2α-β∈（-π，0）．
而tan（2α-β）=tan[（α-β）+α]=$\frac{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}}{1-\frac{1}{2}×\frac{1}{3}}$=1，
所以2α-β=-$\frac{3}{4}$π

点评本题考查两角和与差的正切公式，缩小角的范围是解决问题的关键，属中档题．

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