[池州二模]2023年池州市普通高中高三教学质量统一监测文理 数学

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[池州二模]2023年池州市普通高中高三教学质量统一监测文理 数学试卷答案

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7．已知函数f（x）对一切实数x，y都有f（x+y）-f（y）=x（x+2y+1）成立，且f（1）=0．
（1）求f（x）的解析式；
（2）已知f（x）=（a+2）x-3在（$\frac{1}{2}$，2）内有解，求实数a的取值集合（记为集合A）；
（3）在（2）中的A中存在实数a使y=af（x）的图象与y=x+b的图象恒有两不同的交点，求实数b的取值范围．

分析（1）利用等差数列的通项公式即可得出；
（2）由a_n≥0．解得n，再利用等差数列的前n项和公式即可得出．

解答解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，∵a₂=8，a₄=4，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+d=8}\\{{a}_{1}+3d=4}\end{array}\right.$，解得a₁=10，d=-2．
∴a_n=10-2（n-1）=12-2n．
（2）由a_n=12-2n≥0．
解得n≤6，
∴当n=5或6时，
S_n取得最大值S₆=$\frac{6×（10+0）}{2}$=30．

点评本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

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